ネットに接続できるかはInternetAttemptConnectAPIを使って調べる。
まさに名前の通りの関数なわけだが、一応定義を示すと、

function InternetAttemptConnect(dwReserved: DWORD): DWORD;

このAPIの使用にはWinInet.dllが必要。
IE3.0以上の環境があれば使用することが可能。
uses節にWinInetを追加すればOK。

引数のdwReservedには常に0を指定しなくてはいけないらしい。
リターン値はエラーコード。接続成功ならERROR_SUCCESSを返す。
以下は例示。

if (InternetAttemptConnect(0) <> ERROR_SUCCESS) then
begin
  {未接続時の処理}
end
else
begin
  {接続時の処理}
end;